5SY 6月21日(金)の授業報告
算数
【授業内容】
第18回 数列と数表
様々な数列を扱う練習です。
例題４以降は、特に数列の中で、「表のように2次元の広がりがある数列」を考える内容になっています。
数列・・・ある規則に従ってならんでいる数字の並び のことです。
その「規則」をどのように読み取り、それを活かして数字を探るかということになります。
（例題１）階差数列が1からの連続する整数になっている数列
ある数列の間の差を取って並べて作った数列のことを「階差数列」と呼びます。
この問題の数列は、「階差数列が１，２，３，４，・・・」となっている ということに気付き
それを利用して元の数列について考えます。
このとき 1+2+3+4+・・・+N = (1+N) × N ÷２ という１から連続した整数の和を求める式を使いこなす必要がでてきます。（もちろんこれは初項＝１ 公差＝１の等差数列として考えて構いません）
（例題２）ある数の倍数を取り除いてできる数列
「３の倍数でない１からはじまる整数」の数列 という表現なので、
1,2,4,5,7,8,10,・・・ となりますが、3の倍数の手前で切ると、2個ずつでグループ化できる
ことになります。ここで、考えやすくするために、テキストにあるような表を描いて、
1組目＝｛１，２｝ 2組目＝｛４，５｝ のようにグループ化します。
この場合、1組の中に2個の数字が入っていることになるので、これを手掛かりに解いていきます。
また、「３の倍数であるために消した数字」が、それぞれの組の最後にあったはずの数字なので、
N組目の数字はN×３-1 と N×３-2 だとわかることになります。
（例題３）２つの整数の倍数を取り除いてできる数列
例題２の発展です。今度はNとMのような2つの整数の倍数を取り除いていくので、
できる数列は NとMの最小公倍数までの整数を考えると、周期的にでてくることになります。
よって、例題２と同じように、1周期分を1組（1行）とする表にして調べていけばよいことになります。
ここで、この後の問題に備えて、四角数（平方数）と三角数の確認をしました。
・四角数（平方数）・・・同じ整数を2回かけてできる整数
1 , 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 までは覚えてしまいたいところです。素早く計算できることと同じく、「見たときに四角数であることに気付く」ことが大事になるからです。
・三角数・・・１から整数を足していってできる整数
1 , 3(=1+2) , 6(=1+2+3) , 10(=1+2+3+4) ・・・ のような数です。
これは、四角数に比べると、パッと見て気付きにくいので、初めの1,3,6,10あたりまでは意識してしっかり覚えましょう。
（例題４） 四角数による数表
１から順番に数字が入っていますが、上から下→左 と正方形を作るように進むライン上に数字を入れています。つまり、一番左側の数字（1列目）は、かならず四角数になっていることに気付きたいです。
そこを手掛かりに、「何番目のラインに乗っているか」を考えていきます。
（例題５）三角数による数表
１から順番に数字が入っていますが、上から左下へと階段状に入れています。つまり全体として三角形ができていく形で進むライン上に数字を入れています。つまり、一番左側の数字（1列目）は、かならず三角数になっていることに気付きたいです。
そこを手掛かりに、「何番目のラインに乗っているか」を考えていきます。
ここで、
1番目のライン上の数字は（行,列）で位置を表すと(1,1)で行と列の和＝2
2番目のライン上の数字は（行,列）で位置を表すと(1,2), (2,1) で行と列の和＝3
3番目のライン上の数字は（行,列）で位置を表すと(1,3), (2,2),(3,1),で行と列の和＝4
・・・
となり、N番目のライン上の 行＋列＝N＋１になることがわかります。
このことを使って、探している数字が何番目のライン上にあるかを確認して解いていきます。
例題４・例題５は、「数字が乗っているライン」をどのように見極めるかがテーマになって難しいので、テキストに出ている問題を正確にこなせるようにする練習から始めましょう。
【宿題】
明日まとめて提示します。
担当 東本 tohmoto@epis-edu.com